En el Congreso Internacional de Matemáticas de Paris del año 1900, David Hilbert presentó a la comunidad matemática una lista de problemas que marcaron el desarrollo de la matemática a lo largo del siglo XX. Uno de ellos, el Problema N.º 17, plantea la siguiente pregunta: ¿es todo polinomio positivo sobre los números reales una suma de cuadrados?

Este problema fue resuelto en 1927 por Emil Artin. Su demostración no solo respondió afirmativamente a la pregunta, sino que también dio origen a la teoría de ordenes de cuerpos. Décadas más tarde, Albrecht Pfister profundizó este resultado al demostrar que, de hecho, todo polinomio positivo puede escribirse como suma de a lo más $2^n$ cuadrados, donde n es el número de variables del polinomio.

Ahora, naturalmente surgen las siguientes interrogantes: ¿es posible mejorar esta cota o es que realmente necesitamos $2^n$ cuadrados? ¿podemos decir algo mas general si cambiamos el cuerpo de base por otro con propiedades similares al cuerpo de los números reales?

En esta charla presentaré un recorrido histórico por el desarrollo de estas ideas, discutiré algunas de las preguntas que aún permanecen abiertas y mostraré algunos pequeños avances en esta dirección.