El teorema de uniformización establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a una de las tres geometrías canónicas: el disco unitario, el plano complejo o la esfera de Riemann. Este resultado fundamental de la geometría conforme en dimensión dos motivó naturalmente la búsqueda de análogos en dimensiones superiores. En esta dirección, el problema de Yamabe, planteado originalmente por H. Yamabe en 1960, pregunta si toda variedad Riemanniana compacta admite una métrica de curvatura escalar constante dentro de una clase conforme dada.

En esta charla discutiremos una clase de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que surgen en geometría conforme, con especial énfasis en problemas de curvatura prescrita. Comenzando con el problema clásico de Yamabe y la ecuación de curvatura escalar prescrita, introduciremos sus generalizaciones completamente no lineales asociadas a funciones simétricas de orden superior del tensor de Schouten, conocidas como $\sigma_k$-curvaturas. Estas ecuaciones aparecen naturalmente en el estudio de operadores conformemente covariantes y del comportamiento de cantidades geométricas bajo cambios conformes de métrica $g\to e^{2u}g$. Revisaremos ejemplos fundamentales como el laplaciano conforme y operadores de orden superior, incluyendo el operador de Paneitz, y explicaremos cómo sus invariantes de curvatura asociados conducen a ecuaciones geométricas no lineales.